Correction sur les fonctions trigonométriques

CORRECTION DM8 EXERCICE 1 : Etude d’une fonction trigonométrique f est la fonction définie sur R par : f(x) = sin x (1 + cosx) 1) a) i) Pour tout x ∈ R, (x + 2 ) ∈ R ii) Pour tout x ∈ R, f(x + 2 ) = sin(x + 2 )(1 +cos(x + 2 ) = sin x( 1 + cos x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2 périodiques. = f(x) Donc f est périodique de période 2 . b) i) Pour tout x ∈ R, (-x) ∈ R ii) Pour tout x ∈ R, f(-x ) = sin(-x )(1 +cos(-x) = - sin x( 1 + cos x) car la fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire. = - f(x) Donc f est impaire. c) f est périodique de période 2 donc on peut restreindre son étude à un intervalle de longueur 2 comme [0 ; 2 ] ou [- ; ] de plus f est une fonction impaire donc on peut l’étudier sur [0 ; + [. Sa courbe admet pour centre de symétrie, l’origine O du repère. Finalement on peut étudier f sur I = [0 ; ]. 2) a) f est dérivable R comme produit de fonctions dérivables sur R .